Persamaan Garis Lurus

KONSEP GRADIEN DAN GARIS LURUS

Dalam aktivitas sehari-hari, tentunya kalian pernah menggambar garis lurus, namun apakah kalian tahu bahwa setiap garis lurus mempunyai kemiringan tertentu?

Mari kita cermati gambar ruas jalan berikut ini.

Ruas jalan dari A sampai D posisi jalannya miring. Pada ruas jalan dari A sampai B, jarak horizontalnya 15 m dan ketinggiannya 5 m, sedangkan pada ruas jalan dari C sampai D, jarak horizontalnya 18 m dan ketinggiannya 4 m.

Pengertian Gradien

Ukuran kemiringan, yang selanjutnya disebut gradien, untuk masing-masing ruas garis pada gambar di atas dapat ditentukan dengan cara berikut.

1. AE, BF, AG, dan CH merupakan perubahan jarak mendatar yang selanjutnya disebut dengan perubahan nilai x atau perubahan jarak mendatar.
2. BE, CF, CG, dan DH merupakan perubahan jarak tegak yang selanjutnya disebut dengan perubahan nilai y atau perubahan jarak tegak.

Dengan kata lain, gradien merupakan nilai perbandingan antara perubahan nilai y dengan perubahan nilai x.

Perhatikan gradien ruas garis AB, BC, dan AC pada uraian di atas. Ternyata ketiga ruas garis tersebut memiliki gradien yang sama, yaitu 1/3 , walaupun panjangnya berbeda.

Jadi, gradien garis tidak tergantung pada panjang garis.

Gradien Garis pada Bidang Koordinat Cartesius

Perhatikan gambar di bawah ini.

Pada garis k , terdapat ruas garis OA dan OB dengan koordinat O(0 , 0), A(5 , 4), dan B(-5 , -4).

Dengan demikian,

Jadi, gadien garis k = gradien OA = gradien OB = 4/5

Berdasarkan uraian di atas, dapat ditarik kesimpulan sebagai berikut :

1. Untuk menentukan gradien garis k, kita perlu memilih salah satu ruas garis pada garis k, misal : garis OA atau OB.
2. Perubahan nilai x bernilai positif jika bergerak ke kanan (dari O bergerak ke C)
3. Perubahan nilai x bernilai negatif jika bergerak ke kiri (dari O bergerak ke D)
4. Perubahan nilai y bernilai positif jika bergerak ke atas (dari C bergerak ke A)
5. Perubahan nilai y bernilai negatif jika bergerak ke bawah (dari D bergerak ke B)
6. Garis dengan kemiringan seperti garis k mempunyai gradien bernilai positif

Gradien Garis yang Melalui Dua Titik

Perhatikan titik A(x1 , y1) dan B(x2 , y2) pada gambar di atas.

Untuk menentukan gradien garis AB pada gambar (a), terlebih dahulu kita tentukan perubahan nilai x dan perubahan nilai y dari garis AB.

1. Perubahan nilai x garis AB = AM = x2 - x1
2. Perubahan nilai y garis AB = MB = y2 - y1

Untuk selanjutnya, gradien garis AB dapat ditulis mAB

Gradien Garis yang saling Sejajar

Garis-garis yang sejajar memiliki gradien yang sama.
m1 = m2

Gradien Garis yang saling Tegak Lurus

Hasil kali gradien antara kedua garis yang saling tegak lurus adalah (-1)
m1 X m2 = - 1

Garis Lurus

Bentuk umum dari persamaan garis lurus adalah y = mx + c atau ax + by = c

Selanjutnya, 
1. gradien dari garis y = mx + c adalah m 
2. gradien dari garis ax + by = c adalah -a/b

Aksioma : melalui dua buah titik hanya dapat dibuat sebuah garis lurus.

Dengan demikian, hanya ada satu garis yang melalui titik (x1 , y1) dan (x2 , y2) , yaitu :

Untuk memperdalam pemahaman kalian, mari kita mencermati beberapa contoh soal berikut ini.

Contoh 1 :

Gambar di bawah menunjukkan tampak samping dari bagian tangga beton. Hitunglah gradien tangga tersebut!

Penyelesaian :

Untuk menentukan gradien, kita perlu membuat garis yang melalui pojok-pojok atas tangga seperti gambar di bawah.

Contoh 2 :

Tentukan gradien garis yang menghubungkan pasangan titik P(- 3, 6) dan Q(5, - 4).

Penyelesaian :

1. Karena P(-3 , 6) maka x1 = -3 dan y1 = 6
2. Karena P(5 , -4) maka x1 = 5 dan y1 = -4

Dengan demikian,

Contoh 3 :

Garis g yang bergradien -5/3 sejajar dengan garis l. Tentukan gradien garis l !

Penyelesaian :

Karena garis l sejajar dengan garis g, maka ml = mg = -5/3

Contoh 4 :

Garis k yang bergradien 2/5 tegak lurus dengan garis l. Tentukan gradien garis l !

Penyelesaian :

Karena garis l sejajar dengan garis k, maka ml X mk = -1 <=> ml = -1/mk = -5/2

Contoh 5 :

Tentukan gradien dari garis berikut :
1. 6x + 4y = 12
2. 3x - 8y + 15 =0

Penyelesaian :

1. 6x + 4y = 12 => m = -a/b = -6/4 = -3/2
2. 3x - 8y + 15 = 0 => m = -a/b = -3/(-8) = 3/8

Sistem Persamaan Linear Dua Variabel

❅ Contoh 1 ❅

Harga 4 buah permen A dan 3 buah permen B adalah Rp2.500,00, sedangkan harga 2 buah permen A dan 7 buah permen B adalah Rp2.900,00. Berapakah harga 2 lusin permen A dan 4 lusin permen B?
✍ Penyelesaian:


Mula-mula kita harus membuat 2 buah persamaan linear dari informasi yang diketahui pada soal.

Misalkan:
harga 1 buah permen A = x
harga 1 buah permen B = y

Kalimat “Harga 4 buah permen A dan 3 buah permen B adalah Rp2.500,00” diubah menjadi,

$4x+3y=2500$ …. Persamaan (1)Kalimat “Harga 2 buah permen A dan 7 buah permen B adalah Rp2.900,00” diubah menjadi,

$2x+7y=2900$ …. Persamaan (2)

Sekarang kita sudah mempunyai 2 persamaan linear. Selanjutnya kita tinggal menyelesaikan SPLDV tersebut dengan menggunakan salah satu metode.

Pada contoh ini kita akan menggunakan metode eliminasi.


Kemudian, nilai y = 300 kita substitusikan ke salah satu persamaan
4x+3y4x+3(300)4x+9004xx=2500=2500=2500=400$\begin{array}{}\end{array}$4x+3y=2500
$\begin{array}{r}\mathrm{}\\ \iff & 4x+3(300)& =2500\end{array}$
$\begin{array}{r}\mathrm{}\\ \iff & 4x+900& =2500\end{array}$
$\begin{array}{r}\mathrm{}\\ \iff & 4x& =1600\end{array}$
$\begin{array}{r}\mathrm{}\\ & x& =400\end{array}$
$$

Diperoleh:
harga permen A = Rp400,00
harga permen B = Rp300,00
1 lusin = 12 buah

Harga 2 lusin permen A = 2×12×400=9600$2\times 12\times 400=9600$
Harga 4 lusin permen B = 4×12×300=14400$4\times 12\times 300=14400$

Jadi, harga 2 lusin permen A dan 4 lusin permen B adalah Rp9.600,00 dan Rp14.400,00.

❅ Contoh 2 ❅

Umur Sani 7 tahun lebih tua dari umur Ari, sedangkan jumlah umur mereka adalah 43 tahun. Berapakah umur mereka masing-masing ?

✍ Penyelesaian:

Mula-mula kita harus membuat 2 buah persamaan linear dari apa yang diketahui pada soal.

Misalkan:
umur Sani = x
umur Ari = y

Kalimat “Umur Sani 7 tahun lebih tua dari umur Ari” diubah menjadi:

$\mathrm{<span\; style="color:\; orange;">x</span>}<span\; style="color:\; orange;">=</span>\mathrm{<span\; style="color:\; orange;">7</span>}<span\; style="color:\; orange;">+</span>\mathrm{<span\; style="color:\; orange;">y</span>}$ …. Persamaan (1)
Kalimat “Jumlah umur mereka adalah 43 tahun” diubah menjadi:

x+y=43$\mathrm{<span\; style="color:\; orange;">x</span>}<span\; style="color:\; orange;">+</span>\mathrm{<span\; style="color:\; orange;">y</span>}<span\; style="color:\; orange;">=</span>\mathrm{<span\; style="color:\; orange;">43</span>}$ …. Persamaan (2)

Sekarang kita sudah mempunyai 2 persamaan linear. Selanjutnya kita tinggal menyelesaikan SPLDV tersebut dengan menggunakan salah satu metode.

Pada contoh ini kita akan menggunakan teknik substitusi.

Substitusikan nilai x pada persamaan (1) ke persamaan (2), sehingga diperoleh:

⇔⇔⇔⇔⇔x+y(7+y)+y7+2y2y2yy=43=43=43=43−7=36=18



Kemudian, kita substitusikan nilai y ke salah satu persamaan:

⇔⇔⇔x+yx+18xx=43=43=43−18=25$\begin{array}{}\mathrm{<span\; style="color:\; orange;">x</span>}<span\; style="color:\; orange;">+</span>\mathrm{<span\; style="color:\; orange;">y</span>}<span\; style="color:\; orange;">=</span>\mathrm{<span\; style="color:\; orange;">43</span>}<span\; style="color:\; orange;">\iff </span>\mathrm{<span\; style="color:\; orange;">x</span>}<span\; style="color:\; orange;">+</span>\mathrm{<span\; style="color:\; orange;">18</span>}<span\; style="color:\; orange;">=</span>\mathrm{<span\; style="color:\; orange;">43</span>}<span\; style="color:\; orange;">\iff </span>\mathrm{<span\; style="color:\; orange;">x</span>}<span\; style="color:\; orange;">=</span>\mathrm{<span\; style="color:\; orange;">43</span>}<span\; style="color:\; orange;">-</span>\mathrm{<span\; style="color:\; orange;">18</span>}<span\; style="color:\; orange;">\iff </span>\mathrm{<span\; style="color:\; orange;">x</span>}<span\; style="color:\; orange;">=</span>\mathrm{<span\; style="color:\; orange;">25</span>}\end{array}$

Jadi, umur Sani 25 tahun dan umur Ari 18 tahun.

Teorema Pythagoras

Teorema Pythagoras sebenarnya telah dikenal dan digunakan berabad-abad sebelum kelahiran Pythagoras. Pythagoras adalah seorang filsuf asal Yunani yang hidup sekitar abad ke-6 Sebelum Masehi (SM). Di Cina, teorema Pythagoras disebut dengan Gougo Teorema. Teorema ini juga telah dibukukan oleh Baudhayana Sulba Sutra asal India lengkap dengan bukti geometrisnya. Namun, baru pada masa Pythagoras lah teorema ini dapat dibuktikan secara matematis sehingga dinamakan dengan teorema Pythagoras.

       Pemikiran Pythagoras tidak lepas dari kaumnya yang dikenal dengan kaum Pythagorean. Akan tetapi, ketika muridnya yang bernama Hippasus menemukan bilangan irrasional 2–√ dari sisi miring segitiga siku-siku sama kaki, Phytagoras bersama kaumnya memutuskan untuk membunuh Hippasus karena tidak dapat menyangkal bukti yang diajukannya.

Beberapa konsep yang mendukung penemuan teorema Pythagoras adalah:
a. Luas persegi
Suatu persegi dengan panjang sisi a mempunyai luas L = a x a = a² .
b. Luas segitiga
Suatu segitiga dengan alas a dan tinggi t mempunyai luas L=12×a×t=12at$L=\frac{1}{2}\times a\times t=\frac{1}{2}at$ .
c. Kuadrat jumlah suku aljabar
Pada suku aljabar (a + b), berlaku (a + b)² = a² + 2ab + b² .
Nah, untuk memahami tentang teorema Pythagoras, perhatikan ilustrasi gambar di bawah ini.
Nah, untuk memahami tentang teorema Pythagoras, perhatikan ilustrasi gambar di bawah ini.
                                       
Kita dapat menentukan luas persegi di atas dengan dua cara, yaitu:
a. Menghitung luas persegi besar dengan ukuran sisi (a + b).
Luas persegi dengan ukuran sisi (a + b) adalah L = (a + b)² = a² + 2ab + b² .
b. Menghitung luas 4 segitiga siku-siku dan luas 1 persegi kecil dengan ukuran sisi c pada bagian tengah bangun.
Luas 4 segitiga adalah L1=4.12ab=2ab
Luas 1 persegi kecil adalah L2=c2
Luas total adalah L=L1+L2=2ab+c2
Kedua cara di atas, tentu akan menghasilkan nilai yang sama, sehingga dapat kita tuliskan:
a2+2ab+b2=2ab+c2⇔a2+b2=c2

Perhatikan bahwa a adalah panjang alas, b adalah tinggi, dan c adalah sisi miring pada segitiga siku-siku. a dan b merupakan dua sisi yang saling tegak lurus yang disebut sisi siku-siku, sedangkan c merupakan sisi di hadapan sudut siku-siku yang disebut dengan hipotenusa atau sisi miring. Dari hasil kesamaan di atas, diperoleh bahwa:

Untuk setiap segitiga siku-siku, kuadrat sisi miring sama dengan jumlah kuadrat kedua sisi siku-sikunya.
                                       

Nah, sifat inilah yang dinamakan dengan teorema Pythagoras.
Kebenaran teorema Pythagoras juga dapat diketahui dengan menempatkan persegi di setiap sisi segitiga siku-siku seperti berikut.
                                       
Misalkan kita memiliki persegi A, B, dan C yang masing-masing berukuran a, b, dan c. Luas masing-masing persegi adalah L_a = a² , L_b = b² , dan L_c = c² . Jika a = 3 cm, b = 4 cm, dan c = 5 cm, kita akan mendapatkan bahwa:
Luas persegi pada sisi miring = jumlah luas persegi pada kedua sisi siku-sikunya
L_c = L_a + L_b
⇔c² = a² + b²
⇔5² = 3² + 4²
⇔25 = 9 + 16

sumber: link.quipper.com